[量子计算笔记] 能量与信息

这一小节属于经典计算导论,使用了经典物理的理论来假了一个理想气体分子的信息处理原理,为之后的量子计算做铺垫,因为有着承前启后的重要作用,所以单独写到博客中,其他部分的内容我也会视重要程度以笔记的形式写到博客中。

麦克斯韦妖

简单来说麦克斯韦妖就像是一个看门者,在一个密闭容器内,中间有一个隔板,隔板上有一个洞,当运动速度快的气体分子运动到洞口时其将洞门打开,而遇到慢气体分子则不开,这样就起到了分离快分子和慢分子的功能,反应在宏观上就是我们得到了两种不同温度的气体,它们可被用作热库做功。这一过程看似是违背了热力学第二定律,因为似乎我们什么都没做就产生了功,但是事实上这一过程未必违反热力学第二定律,因为热转换为功并非该过程的全部,在更详细的分析中将气体、麦克斯韦妖和环境全部考虑进去,发现总熵是不变的。

Landauer 原理

根据热力学第二定律,在改变某一区域熵状态(变为熵减)的时候,必然会存在某种做功过程。通过 Rolf Landauer 和 Bennett 证明,原则上测量过程可以在不消耗任何能量的情况下完成,但是测量结果必须存储在小妖的记忆中,而记忆容量是有限的,为了存下新的结果就需要对一些过期的结果进行删除,而该删除过程伴随着能量消耗,而这就是 Landauer 原理:每删除一个比特的信息,至少需要耗散$k_BTln_2$,其中$k_B$为玻尔兹曼常量,$T$为环境温度,在环境温度基本保持不变的情况下可以说,环境的熵至少要增加$k_Bln2$。即气体减少的熵对应小妖增加的熵,而根据这一原理小妖的熵增是由删除所导致的而非测量过程造成的。下面举例推导这一原理。

假设以一个分子在盒中的位置靠左还是靠右来作为一个比特值的0和1。在这个单分子系统下我们暂假设可以运用热力学定律:$dE=\delta L + \delta Q$,即气体内能的变化等于对气体做的功加上气体吸收的热量。在准静态过程下(系统总是处于平衡态)气体熵的变化可以写成 $dS=\frac{\sigma Q}{T}$,我们通过一个无阻力活塞来改变分子在盒中的位置,活塞移动位置 $dx$,时我们对气体做的功是 $\sigma L = -Fdx = pAdx = -pdV$。利用理想气体方程: $pV=Nk_BT$,通过对这一过程进行积分,我们可以计算对气体做的功:

$$L = -\int^{V/2}_{V}pdV’ = -\int^{V/2}_{V}\frac{k_BT}{V’}dV’ = k_BTln2$$

对于理想气体而言,在温度不变的情况下其内能也保持不变。根据热力学第一定律,对气体所做的功转化为热量耗散到环境中, $\Delta Q = -L, \Delta Q < 0$。联系到之前的计算可得:

$$\Delta S = \frac{\Delta Q}{T} = \frac{-L}{T} = -k_B ln2$$

宇宙的熵并不会减少,那么系统的熵减少,则环境的熵必然增加,且有环境的熵 $\Delta S \geq k_Bln2$。

下面证明 Landauer 原理的另一个方面,也即该信息所包含的信息量正比于删除该讯息所必需的能量,对于但分子模型来说就是把所有分子移动到盒子左边或者右边的能量。而要定义讯息的信息量很简单,如果我们获知承载一个讯息的比特的数值的话我们就会获得一定量的信息,而该信息即被定义为这个讯息的信息量,实质上其反应的就是我们对讯息的无知程度,信息量为0,则表示我们已经知道了一个讯息的比特的值。如果一个分子在盒内的左边(比特值为0),我们则不需要做任何事,而如果已知一个分子在盒内的右边(比特值为1),我们可以通过一个更小的盒子,将该分子移动到左边,因为分子在小盒内碰到左壁和右壁的概率一样,所以这个过程也不需要对气体分子做功,只有当我们事先不知道分子位置的前提下,才需要做功将盒的体积减半,在这种情况下讯息的信息量不是0,而为了删除它们我们也需要付出能量。

从信息中提取功

反过来说如果我们已经事先在盒中运动的位置,比如只是在右半边运动,那么我们仅需要将原来的隔板换成一个可以推动的活塞,即可以从分子的运动中提取能量来推动做工,Bennett 设计了一个小车和盒子的模型,一些已知分子位置的盒子一字排开,小车通过不断往这些盒子中插入活塞以获取推动力,实际上这就相当于图灵机上的磁带读写模型。值得注意的是,在小车从每个盒子中提取 $L=k_BTln2$ 的功之后,分子可以处于盒中的任何一个地方,也即这一串盒子中的信息在做功后消失了。而对于不知道位置的盒子我们无法从分子的运动中提取能量做功,实际上我们插入活塞一般时间气体对外做工,而另一半时间外部对气体做功,平均而言所做功为0。